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习题题目 本题难度:0.60  题型:综合题
(2016•汕头二模)如图,在四边形ABCD中,CB=CA=
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AD=1,
CA
AD
=-1,sin∠BCD=
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(1)求证:AC⊥CD;
(2)求四边形ABCD的面积;
(3)求sinB的值.
来源:2016•汕头二模 | 【考点】平面向量数量积的运算;正弦定理;解三角形.

相似题

已知:如图,在四边形△ABC中,∠A=120°,AB=BC,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E、F为垂足.
(1)求∠B、∠C的度数;
(2)求证:△BDE≌△CDF;
(3)求证:△DEF是等边三角形.
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已知:如图,在四边形ABC中,AD=BC,AB=CD.
求证:AB∥CD,AD∥BC.
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如图,在四边形ABC中,∠A=∠C=90°,DF分别是∠B和∠D的外角平分线.求证:BE∥DF.
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解析与答案 (揭秘难题真相,上学库宝

习题“(2016•汕头二模)如图,在四边形ABCD中,CB=CA=12AD=1,CA•AD=-1,sin∠BCD=35.(1)求证:AC⊥CD;(2)求四边形ABCD的面积;(3)求sinB的值.”的学库宝(http://www.xuekubao.com/)教师分析与解答如下所示:

解析
【分析】(1)根据题意可分别求得ACCD和AB利用CA•AD=-1利用向量的数量积的性质求得cos∠DAC的值进而求得∠DAC进而利用余弦定理求得DC的长.求得BC2+AC2=AB2.判断AC⊥CD(2)在直角三角形中求得cos∠ACB的值利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACB然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积二者相加即可求得答案.(3)在△ACB中利用余弦定理求得AB的长最后利用正弦定理求得sinB的值.
答案
【解答】解:(1)CB=CA=12AD=1CA•AD=-1∴CA•DA=|CA|•|DA|•cosA=1×2•cos∠CAD=1∴cos∠CAD=12∴∠CAD=π3由余弦定理CD2=AC2+AD2-2AD•ACcos∠CAD=1+4-2×2×12=3.∴CD=3∴AD2=AC2+CD2∴∠ACD=π2.∴AC⊥CD(2)由(1)∠ACD=π2∴sin∠BCD=sin(π2+∠ACB)=cos∠ACB=35.∵∠ACD∈(0π)∴sin∠ACB=45. ∴S△ACB=12×1×1×45=25.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=25+32. (3)在△ACB中AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB=1+1-2×1×1×35=45.∴AB=255∴ABsin∠ACD=ACsinB∴sinB=AC•sin∠ACDAB=255
知识点
【考点】平面向量数量积的运算;正弦定理;解三角形.
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知识点讲解

经过分析,习题“(2016•汕头二模)如图,在四边形ABCD中,CB=CA=”主要考察你对 平面向量数量积的运算正弦定理解三角形解三角形 等考点的理解。

因为篇幅有限,只列出部分考点,详细请访问学库宝

平面向量数量积的运算

描述:

两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a·b=x1x2+y1y2