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习题题目 本题难度:0.60  题型:综合题
(2016春•成都校级月考)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,B1C⊥AC1
(1)求AA1的长.
(2)在线段BB1存在点P,使得二面角P-A1C-A大小的余弦值为
3
3
,求
BP
BB1
的值.
来源:2016春•成都校级月考 | 【考点】二面角的平面角及求法;棱柱的结构特征.

相似题

如图,已知直三棱柱ABC-A′B′C′的底面为等边三角形,D是AA′上的点,E是B′C′的中点,且A′E∥平面DBC′,试判断点D在AA′上的位置,并给出证明.
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(2016春•成都校级月考)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,B1C⊥AC1
(1)求AA1的长.
(2)在线段BB1存在点P,使得二面角P-A1C-A大小的余弦值为
3
3
,求
BP
BB1
的值.
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如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4,D是棱AA1上的点.试确定D的位置,使得DC1⊥平面DBC,并求此时二面角A-BD-C的大小.
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如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是A A1的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB和C1D所成的角(用反三角函数表示);
(Ⅱ)若E为AB上一点,试确定点E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点D到平面B1C1E的距离.
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如图,在空间直角坐标系中,已知直三棱柱的顶点A在x轴上,AB平行于y轴,侧棱AA1平行于z轴.当顶点C在y轴正半轴上运动时,以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是(  )
  • A、该三棱柱主视图的投影不发生变化
  • B、该三棱柱左视图的投影不发生变化
  • C、该三棱柱俯视图的投影不发生变化
  • D、该三棱柱三个视图的投影都不发生变化
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解析与答案 (揭秘难题真相,上学库宝

习题“(2016春•成都校级月考)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,B1C⊥AC1.(1)求AA1的长.(2)在线段BB1存在点P,使得二面角P-A1C-A大小的余弦值为33,求BPBB1的值.”的学库宝(http://www.xuekubao.com/)教师分析与解答如下所示:

解析
【分析】(1)建立空间直角坐标系根据直线垂直的性质定理进行求解即可.(2)建立空间直角坐标系求平面的法向量利用向量法进行求解.
答案
【解答】解:(1)以ABACAA1 所在直线为xyz 轴建立如图所示的空间直角坐标系设AA1=t则A(000)C1(04t)B1(30t)C(040)∴AC1=(04t)B1C=(-34-t)∵B1C⊥AC1∴AC1•B1C=0即16-t2=0解得t=4即AA1的长为4.     …3分                             (2)设P(30m)又A(000)C(040)A1(004)A1C=(04-4)A1P=(30m-4)且0≤m≤4设n=(xyz)为平面A1CA的法向量    ∴n•A1C=0n•A1P=0即4y-4z=03x+(m-4)z=0取z=1解得y=1x=4-m3∴n=(4-m311)为平面PA1C的一个法向量.                         …6分又知AB=(300)为平面A1CA的一个法向量则cos<nAB>=4-m3•1+1+(4-m3)2∵二面角 大小的余弦值为33∴4-m3•1+1+(4-m3)2=33解得m=1∴BPBB1=14:…10分
知识点
【考点】二面角的平面角及求法;棱柱的结构特征.
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知识点讲解

经过分析,习题“(2016春•成都校级月考)如图,已知直三棱柱ABC-A1B”主要考察你对 二面角的平面角及求法棱柱的结构特征 等考点的理解。

因为篇幅有限,只列出部分考点,详细请访问学库宝

二面角的平面角及求法

描述:

二面角的平面角及求法

1、半平面的定义:

一条直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.

2、二面角的定义:

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。

3、二面角的平面角的概念:

以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是[0,180°]。

4、直二面角:

平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角。

5、二面角的平面角具有下列性质:

a.二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即l⊥平面AOB.

b.从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.

c.二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面AOB⊥α,平面AOB⊥α.

6、求二面角的平面角的方法:

(1)定义法:通过二面角的平面角来求;找出或作出二面角的平面角;证明其符合定义;通过解三角形,计算出二面角的平面角.上述过程可概括为一作(找)、二证、三计算”.

(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线,用三垂线定理或其逆定理作出平面角.

(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直.

(4)射影法:利用面积射影定理求二面角的大小;其中S为二面角一个面内平面图形的面积,S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,α为二面角的大小.

(5)向量法:设二面角的平面角为θ.

①如果那么

②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补,根据具体图形判断。

7、对二面角定义的理解:

根据这个定义,两个平面相交成4个二面角,其中相对的两个二面角的大小相等,如果这4个二面角中有1个是直二面角,则这4个二面角都是直二面角,这时两个平面互相垂直.按照定义,欲证两个平面互相垂直,或者欲证某个二面角是直二面角,只需证明它的平面角是直角,两个平面相交,如果交成的二面角不是直二面角,那么必有一对锐二面角和一对钝二面角,今后,两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角.并注意两个平面所成的角与二面角的区别.