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数学习题

1、二次函数的定义

1.一般地,形如y=a{{x}^{2}}+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量,a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

任何一个二次函数的解析式都可以化成y=a{{x}^{2}}+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此,把y=a{{x}^{2}}+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数的一般式。二次项系数a不能为0,而b、c可以为0,所以二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c的特殊形式有:

(1)y=a{{x}^{2}}(a≠0,b=0,c=0);

(2)y=a{{x}^{2}}+bx(a≠0,b≠0,c=0);

(3)y=a{{x}^{2}}+c(a≠0,b=0,c≠0)。

当a=0时,若b≠0,函数就变成一次函数y=bx+c;若b=0,则y=c是一个常数。

2.一个函数是二次函数必须同时满足三个条件:

(1)函数关系式是整式;

(2)化简后自变量的最高次数是2;

(3)二次项系数不等于0。

3.二次函数的定义域和值域:在y=a{{x}^{2}}+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数。

2、二次函数的图象I

二次函数图像的性质:1. 二次函数y=a{{x}^{2}}(a≠0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点是原点(0,0)。

(1) 二次函数图像怎么画?作法:①列表:一般取5个或7个点,作为顶点的原点(0,0)是必取的,然后在y轴的两侧各取2个或3个点,注意对称取点;②描点:一般先描出对称轴一侧的几个点,再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线:按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线连接所描的点,两端无限延伸。

(2) 二次函数y={{x}^{2}}y=-{{x}^{2}}的图像和性质:



2. 二次函数y=a{{x}^{2}}+k(a,k是常数,a≠0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k),它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同,只是位置不同。函数y=a{{x}^{2}}+k的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向上(或下)平移|k|个单位得到的。

当a>0时,抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向上,在对称轴的左边(x<0时),曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x>0时),曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点,在顶点处函数y取得最小值,即当x=0时,y最小值=k。

当a<0时,抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向下,在对称轴的左边(x<0时),曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x>0时),曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点,在顶点处函数y取得最大值,即当x=0时,y最大值=k。

3. 二次函数y=a{{(x-h)}^{2}}(a≠0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h,顶点坐标是(h,0),它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同,位置不同,函数y=a{{(x-h)}^{2}}(a≠0)的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右(或左)平移|h|个单位得到的。

画图时,x的取值一般为h和h左右两侧的值,然后利用对称性描点画图。

当a>0时,抛物线y=a{{(x-h)}^{2}}的开口向上,在对称轴的左边(x<h时),曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x>h时),曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点,在顶点处函数y取得最小值,即当x=h时,y最小值=0。

当a<0时,抛物线y=a{{(x-h)}^{2}}的开口向下,在对称轴的左边(x<h时),曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x>h时),曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点,在顶点处函数y取得最大值,即当x=h时,y最大值=0。

4. 二次函数y=a{{(x-h)}^{2}}+k(a≠0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,k),是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右(或左)平移|k|个单位,再向上(下)平移|k|个单位得到的。

当a>0时,抛物线y=a{{(x-h)}^{2}}+k的开口向上,在对称轴的左边(x<h时),曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x>h时),曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点,在顶点处函数y取得最小值,即当x=h时,y最小值=k。

当a<0时,抛物线y=a{{(x-h)}^{2}}+k的开口向下,在对称轴的左边(x<h时),曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x>h时),曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点,在顶点处函数y取得最大值,即当x=h时,y最大值=k。

5. 二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c的图像的画法:

(1) 描点法,步骤如下:

a. 利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{(x-h)}^{2}}+k的形式。

b. 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

c. 在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点画图。



(2) 平移法,步骤如下:

a. 利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{(x-h)}^{2}}+k的形式,确定其顶点(h,k)。

b. 作出函数y=a{{x}^{2}}的图像。

c. 将函数y=a{{x}^{2}}的图像平移,使其顶点平移到(h,k)。







3、二次函数图象与系数的关系

1.二次函数\text{y=a}{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c}的图像特征与a,b,c,{{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}的符号之间的关系

1.二次函数\text{y=a}{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c}的图像特征与a,b,c及{{\text{b}}^{2}}-4\text{ac}的符号之间的关系是互逆的,即由字母的符号能确定图像的特征,反之,由图像的特征也能确定字母的符号。

2.对于二次函数\text{y=a}{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c},当x=1时,y=a+b+c。若y=0,则a+b+c=0;若y>0,则a+b+c>0;若y<0,则a+b+c<0。当x=-1时,y=a-b+c。若y=0,则a-b+c=0;若y>0,则a-b+c>0;若y<0,则a-b+c<0。





二次函数图象上点的坐标 二次函数图象与几何变换 二次函数的性质I 二次函数的最值 待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的三种形式 抛物线与x轴的交点 图象法求一元二次方程的近似根 二次函数与不等式(组) 根据实际问题列二次函数关系式 二次函数的应用 二次函数综合题 可能性的大小 概率的意义I 概率公式 利用频率估算概率 游戏公平性 圆的定义 点与圆的位置关系I 确定圆的条件 三角形的外接圆与外心 生活中的旋转现象 旋转的性质 旋转对称图形 坐标与图形变换——旋转 作图——旋转变换 利用旋转设计图案 垂径定理 垂径定理的应用 圆心角、弧、弦的关系 圆周角定理I 圆内接四边形的性质 相交弦定理 正多边形和圆 弧长的计算 扇形面积的计算 比例的性质 比例线段 黄金分割 平行线分线段成比例 相似三角形的性质I 相似三角形的判定I 相似三角形的判定与性质 射影定理 相似三角形的应用 作图——相似变换 相似多边形的性质 位似变换 作图——位似变换
1、下列函数是二次函数的是(  )
A、y=x2+2
B、y=-2x+1
C、y=2x+1
D、y=0.5x-2
题型:选择题 难度:0.60 来源:2015-2016学年海南省五指山市琼州学院附中九年级(上)第四次月考数学试卷 看答案
2、若二次函数y=(m+2)x2-3x+1与x轴有两个交点,则m的取值范围是(  )
A、m<
1
4

B、m<-
1
4
且m≠-2

C、m<-
1
4

D、m<
1
4
且m≠-2
题型:选择题 难度:0.60 来源:2015-2016学年北京四十三中九年级(上)期中数学试卷 看答案
3、下列函数中(x是自变量)是二次函数的是(  )
A、y=-
1
2
+
x+
1
x

B、y=1+x+5x2
C、y=22+2x
D、y=
1
2
x3-x2+25
题型:选择题 难度:0.60 来源:2014-2015学年四川省成都市成华区九年级(上)期末数学试卷 看答案
4、(2015秋•包河区期末)下列函数是二次函数的是(  )
A、y=3x+1
B、y=ax2+bx+c
C、y=x2+3
D、y=(x-1)2-x2
题型:选择题 难度:0.80 来源:2015秋•包河区期末 看答案
5、(2012秋•新都区期末)若y=(m+1)xm2-m+1是x的二次函数,则m=    
题型:填空题 难度:0.60 来源:2012-2013学年四川省成都市新都区九年级(上)期末数学试卷 看答案
6、已知函数y=(m-2)xm2+m-4是一个二次函数,求该二次函数的解析式.
题型:解答题 难度:0.60 来源: 看答案
7、函数y=(m+3)xm2+m-4+(m+2)x+3是二次函数,那么m的值为    
题型:计算题 难度:0.60 来源: 看答案
8、己知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.求:
(1)满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时,抛物线的开口方向、增减性如何?
题型:解答题 难度:0.60 来源: 看答案
9、下列函数是二次函数的是(  )
A、y=8x2+1
B、y=2x-3
C、y=3x2+
1
x2

D、
题型:选择题 难度:0.60 来源: 看答案
10、已知函数y=(m+3)xm2+m-4+(m+2)x+3(其中x≠0).
(1)当m为何值时,y是x的二次函数?
(2)当m为何值时,y是x的一次函数?
题型:计算题 难度:0.60 来源: 看答案