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数学习题

1、平面的概念、画法及表示

平面的概念、画法及表示:

1、平面是无限伸展的;

2、平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。

3、平面的性质:

(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。

用符号语言表示公理1:。

应用:判断直线是否在平面内

(2)公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用:它是空间内确定平面的依据。

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号语言:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l。

公理3的作用:①它是判定两个平面相交的方法;

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点;

③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。

2、平面的基本性质及推论

平面的性质:

(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。

用符号语言表示公理1:。

应用:判断直线是否在平面内

(2)公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用:它是空间内确定平面的依据。

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号语言:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l。

公理3的作用:①它是判定两个平面相交的方法;

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点;

③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。

3、平行公理II

平行公理

1、希尔伯特的《几何基础》的五组公理之一:同一平面内,过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。任何两点都是平行的,任何一点与任何一平面都是平行的。

2、欧几里得的定义:如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相交。

3、平行公理的推论

定义:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

4、平行线性质定理

(1)平行线的定义:在同一平面内,永不相交的两条直线叫做平行线;AB平行于CD,AB∥CD

(2)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

(3)平行公理的推论(平行的传递性): 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行  ∵A∥C,C∥B  ∴A∥B

5、平行线的判定

(1)两条直线被第三条所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行  简单说成:同位角相等,两直线平行。

(2)两条直线被第三条所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行 简单说成:内错角相等,两直线平行。

(3)两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行简单说成:同旁内角互补,两直线平行。

6、平行线的性质

(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。简单说成:两直线平行,同位角相等。

(2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补。

(3)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。简单说成:两直线平行,内错角相等。

(4)两个角的数量关系两直线的位置关系:垂直于同一直线的两条直线互相平行;平行线间的距离,处处相等;如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补

空间图形的公理 异面直线及其所成的角 异面直线的判定 空间中直线与直线之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面平行的判定 直线与平面平行的性质 直线与平面垂直的判定 直线与平面垂直的性质 平面与平面之间的位置关系 平面与平面平行的判定 平面与平面平行的性质 平面与平面垂直的判定 平面与平面垂直的性质 构成空间几何体的基本元素 棱柱的结构特征 棱锥的结构特征 棱台的结构特征 简单组合体的结构特征 简单空间图形的三视图 由三视图还原实物图 中心投影及中心投影作图法 平行投影及平行投影作图法 平面图形的直观图 空间几何体的直观图 斜二测法画直观图 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 球的体积和表面积 棱柱、棱锥、棱台的体积 球面距离及相关计算 分步乘法计数原理 排列及排列数公式 排列数公式的推导 分类加法计数原理 计数原理的应用 组合及组合数公式 组合数公式的推导 排列、组合的实际应用 排列、组合及简单计数问题 排列与组合的综合 二项式定理 二项式系数的性质 二项式定理的应用 随机事件I 概率的意义I 概率的基本性质 互斥事件与对立事件 互斥事件的概率加法公式 等可能事件 等可能事件的概率 相互独立事件 相互独立事件的概率乘法公式 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 古典概型及其概率计算公式 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 条件概率与独立事件 随机数的含义与应用 模拟方法估计概率 几何概型 概率与函数的综合 概率的应用 众数、中位数、平均数 极差、方差与标准差 简单随机抽样 分层抽样方法 系统抽样方法 收集数据的方法 分布的意义和作用 频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图、密度曲线 茎叶图 用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征估计总体的数字特征 随机抽样和样本估计总体的实际应用
1、(2015春•徐汇区校级期中)“直线l与平面l∩α=P相交于点P”用集合语言表示为    
题型:填空题 难度:0.76 来源:2015春•徐汇区校级期中 看答案
2、分别用文字语言、图形语言和符号语言书写面面平行的判定定理.
题型:解答题 难度:0.74 来源:2015秋•银川校级月考 看答案
3、(2015春•上海校级期中)一直线l与其外三点A,B,C可确定的平面个数是(  )
A、1个
B、3个
C、1个或3个
D、1个或3个或4个
题型:选择题 难度:0.82 来源:2015春•上海校级期中 看答案
4、如果A点在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,可以表示为(  )
A、A⊂a,a⊂α,B∈α
B、A∈a,a⊂α,B∈α
C、A⊂a,a∈α,B⊂α
D、A∈a,a∈α,B∈α
题型:选择题 难度:0.82 来源:2012秋•鹿城区校级月考 看答案
5、正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为CD的中点.
(Ⅰ)请确定面A1D1F与面ABCD的交线的位置,并说明理由;
(Ⅱ)请在BB1上确定一点E,使得面ADE⊥面A1D1F,并说明理由.
题型:解答题 难度:0.62 来源:2012春•鹿城区校级期末 看答案
6、两个平面能把空间分成几个部分(  )
A、2或3
B、3或4
C、3
D、2或4
题型:选择题 难度:0.73 来源:2011秋•高安市校级期末 看答案
7、点A在直线l上,l在平面α外,用符号表示正确的是(  )
A、A∈l,l∉α
B、A∈l,l⊄α
C、A⊂l,l⊄α
D、A⊂l,l∈α
题型:选择题 难度:0.82 来源:2008春•宣武区校级月考 看答案
8、现有10个边长为1的正方形,排列形式如图,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:在图中画出分割线,并在图中的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
说明:直接画出图形,不要求写分析过程.
题型:解答题 难度:0.50 来源:2007春•临海市期末 看答案
9、“点A在直线l外,直线l在平α上”用集合语言表示    
题型:填空题 难度:0.76 来源: 看答案
10、若α∩β=l,A、B∈α,C∈β,试画出平面ABC与平面α、β的交线.
题型:解答题 难度:0.73 来源: 看答案