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因式分解的应用知识点讲解:

因式分解中的四个注意:

1.首项有负常提负,这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的;

2.各项有“公”先提“公”,这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;

3.某项提出莫漏1,这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1;

4.括号里面分到“底”,分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!。



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因式分解的应用练习题:

1、阅读理解:
材料一、对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式,但对于二次三项式x4-3x2+1,就不能直接用公式法了,我们可以把二次三项式x4-3x2+1中3x2拆成2x2+x2,于是
有x4-3x2+1=x4-2x2-x2+1=x4-2x2+1-x2=(x2-1)2-x2=(x2-x-1)(x2+x-1).
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫拆项法.
(1)请用上述方法对多项x4-7x2+9进行因式分解;
材料二、把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式,如何将
1-3x
x2-1
表示成部分分式?
设分式
1-3x
x2-1
=
m
x-1
+
n
x+1
,将等式的右边通分得:
m(x+1)+n(x-1)
(x+1)(x-1)
=
(m+n)x+m-n
(x+1)(x-1)

1-3x
x2-1
=
(m+n)x+m-n
(x-1)(x+1)
m+n=-3
m-n=1
解得
m=-1
n=-2
,所以
1-3x
x2-1
=
-1
x-1
+
-2
x+1

(2)请用上述方法将分式
4x-3
(2x+1)(x-2)
写成部分分式的和的形式.
题型:解答题 难度:0.60 来源:2016春•重庆校级月考 看答案
2、若整数a能被整数b整除,则一定存在整数n,使得
a
b
=n
,即a=bn.例如若整数a能被整数3整除,则一定存在整数n,使得
a
3
=n
,即a=3n.
(1)若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差(大数减小数)能被13整除,那么原多位自然数一定能被13整除.例如:将数字306371分解为306和371,因为371-306=65,65是13的倍数,所以306371能被13整除.请你证明任意一个四位数都满足上述规律.
(2)如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成,那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”,例如:自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成,所以12121212是“摆动数”,再如:656,9898,37373,171717,…,都是“摆动数”,请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除.
题型:解答题 难度:0.60 来源:2016春•重庆校级月考 看答案
3、阅读材料:若m2-2mn+2n2-2n+1=0,求m、n的值.
解:∵m2-2mn+2n2-2n+1=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-2n+1)=0
∴(m-n)2+(n-1)2=0,∴(m-n)2=0,(n-1)2=0,∴n=1,m=1.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x、y的值;
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=12a+8b-52,且△ABC是等腰三角形,求c的值.
题型:解答题 难度:0.60 来源:2015春•扬州校级期中 看答案
4、已知a,b,c是△ABC的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,则△ABC是    三角形.
题型:填空题 难度:0.60 来源:2014春•吉安校级月考 看答案
5、若三角形三条边长分别为a,b,c,且a2b-a2c+b2c-b3=0,则这个三角形一定是    
题型:填空题 难度:0.60 来源: 看答案
6、阅读理解:对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接用公式法了,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2,使其成为完全平方式,再减去a2这项,使整个式子的值不变.于是有x2+2ax-3a2=x2+2ax-3a2+a2-a=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.
(1)请用上述方法把x2-4x+3分解因式.
(2)多项式x2+2x+2有最小值吗?如果有,那么当它有最小值时,x是多少?
(3)请用上述方法把x4+x2+1分解因式.
题型:解答题 难度:0.60 来源: 看答案
7、已知a2+a-1=0,则2a3+4a2+2015的值是    
题型:填空题 难度:0.60 来源: 看答案
8、已知x2+2y2-6x+4y+11=0,求(x+2y)2(x-2y)2-(x-2y)(x2+4y2)(x+2y)的值.
题型:解答题 难度:0.60 来源: 看答案
9、若1+x+x2+x3=0,则1+x+x2+x3+…+x2013+x2016的值为    
题型:计算题 难度:0.60 来源: 看答案
10、如果n是正整数,求证:3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
题型:证明题 难度:0.60 来源: 看答案