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勾股定理的证明练习题:

1、已知,如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的图形.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3的值为(  )
A、16
B、14
C、12
D、10
题型:选择题 难度:0.48 来源:2015-2016学年山西省太原市八年级(上)期中数学试卷 看答案
2、背景介绍:勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.
小试牛刀:把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a、b、c.显然,
∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:

S梯形ABCD=    
S△ABC=    
S四边形AECD=    
则它们满足的关系式为    经化简,可得到勾股定理.
知识运用:
(1)如图2,铁路上A、B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C、D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=25千米,BC=16千米,则两个村庄的距离为    千米(直接填空);
(2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离.
知识迁移:借助上面的思考过程与几何模型,求代数式
x2+9
+
(16-x)2+81
的最小值(0<x<16)
题型:填空题 难度:0.46 来源:2015-2016学年江苏省无锡市江阴市石庄中学八年级(上)第14周周练数学试卷 看答案
3、我们运用图(Ⅰ)中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c3+4(
1
2
ab),即(a+b)2=c2+4(
1
2
ab)由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2,这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.

(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数学家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c).
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证:(x+2y)2=x2+4xy+4y2
题型:解答题 难度:0.60 来源:2015-2016学年江苏省无锡市东湖塘中学七年级(下)月考数学试卷(3月份) 看答案
4、(2015•温州模拟)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现;当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2
证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,
则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=
1
2
b2+
1
2
ab.
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=
1
2
c2+
1
2
a(b-a)
1
2
b2+
1
2
ab=
1
2
c2+
1
2
a(b-a)
∴a2+b2=c2
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明:
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.
求证:a2+b2=c2
证明:连结    
∵S多边形ACBED=    
又∵S多边形ACBED=    
    
∴a2+b2=c2
题型:填空题 难度:0.60 来源:2015年浙江省温州市中考数学模拟试卷(样卷) 看答案
5、(1)四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,每个三角形两直角边的和是5.求大正方形的面积.
(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片,如图,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形.
(要求:先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据)
题型:解答题 难度:0.60 来源:2014-2015学年陕西省汉中市佛坪中学八年级(上)期中数学试卷 看答案
6、(2014•余姚市校级自主招生)喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣,他想:75度虽然不是特殊角,但和特殊角有着密切的关系,能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢?经研究,他发现:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆猜想:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(α和β为锐角).将图1(a)等积变形为图1(b)可用于勾股定理的证明,现将这两幅图分别“压扁”成图2(a)和图2(b).如图,锐角为α的直角三角形斜边为m,锐角为β的直角三角形斜边为n,请你借助图2(a)和图2(b)证明上述结论能成立.
题型:解答题 难度:0.80 来源:2014•余姚市校级自主招生 看答案
7、(2014春•涿州市校级月考)如图,由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”. Rt△ABF中,∠AFB=90°,AF=3,AB=5.四边形EFGH的面积是    
题型:计算题 难度:0.60 来源:2013-2014学年河北省保定市涿州市东仙坡中学八年级(下)第二次段考数学试卷 看答案
8、如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB=10,EF=2,求AH的长.
题型:解答题 难度:0.60 来源: 看答案
9、如图,正方形MNPQ网格中,每个小方格的边长都相等,正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上.
(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1,求:
①△ABQ,△BCM,△CDN,△ADP的面积;
②正方形ABCD的面积;
(2)设AQ=a,BQ=b,利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系,你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗?
题型:解答题 难度:0.68 来源: 看答案
10、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标,它是有四个全等的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),若大正方形的面积为13,小正方形较长的直角边为a,较短的直角边为b,则(a+b)2的值为(  )
A、13
B、19
C、25
D、169
题型:选择题 难度:0.60 来源: 看答案