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线性回归方程知识点讲解:

线性回归是利用数理统计中的回归分析,来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一,运用十分广泛。分析按照自变量和因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。

变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系,设随机变量与变量之间存在线性相关关系,则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围。

因此,可以认为关于的回归函数的类型为线性函数。
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线性回归方程练习题:

1、(2016•丹东一模)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,为了探究车流辆与PM2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的浓度的数据如下表:
时间周一周二周三周四周五
车流量x(万辆)100102108114116
PM2.5的浓度y(微克/立方米)7880848890
(Ⅰ)根据上表数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)若周六同一时间段车流量是200万辆,试根据(Ⅰ)中求出的线性回归方程预测,此时PM2.5的浓度是多少?
附:线性回归方程
̂
y
=
̂
b
x+
̂
a
中系数计算公式:
̂
b
=
n
i=1
xi-
.
x
 )( yi-
.
y
 )
n
i=1
xi-
.
x
 )
2
̂
a
=
.
y
-
̂
b
 
.
x
,其中
.
x
.
y
表示样本均值.
题型:解答题 难度:0.80 来源:2016•丹东一模 看答案
2、(2016•陕西模拟)根据某样本数据得到回归直线方程为y=1.5x+45,x∈{1,7,10,13,19},则
.
y
=    
题型:填空题 难度:0.80 来源:2016•陕西模拟 看答案
3、(2016•佛山二模)从2016年1月1日起,广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围,其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如表:
上一年出险次数012345次以上(含5次)
下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%
连续两年没出险打7折,连续三年没出险打6折
经验表明新车商业险保费与购车价格有较强的线性关系,下面是随机采集的8组数据(x,y)(其中x(万元)表示购车价格,y(元)表示商业车险保费):(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500),设由着8组数据得到的回归直线方程为:
y
=b
x
+1055.
(1)求b;
(2)广东李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车
      ①估计李先生购车时 的商业车险保费;
      ②若该车今年2月份已出过一次险,现在有被刮花了,李先生到汽车维修4S店询价,预计修车费用为800元,保险专家建议李先生自费(即不出险),你认为李先生是否应该接受建议?说明理由.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保)
题型:解答题 难度:0.60 来源:2016•佛山二模 看答案
4、(2016•安徽三模)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5各月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如表所示.
x(月份)12345
y(万盒)55668
若x,y线性相关,线性回归方程为
y
=0.7x+
a
,估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为(  )
A、8.1万盒
B、8.2万盒
C、8.9万盒
D、8.6万盒
题型:选择题 难度:0.80 来源:2016•安徽三模 看答案
5、(2016•吴忠二模)2016年是我国重点打造“智慧城市”的一年,主要在“智慧技术、智慧产业、智慧应用、智慧服务、智慧治理、智慧人文、智慧生活”7个方面进行智慧化.现假设某一城市目前各项指标分数x(满分10分)与智慧城市级别y(级)的有关数据如表:
 项目 智慧技术智慧产业  智慧应用智慧服务  智慧治理智慧人文  智慧生活
 指标分数x 6.8 7 6.8 6.8 7.2 7 7.4
 智慧级别y 8.8 9.19.2  8.89.1 
(1)请根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2)从智慧城市级别的7项指标中随机抽取1项指标,级别在区间[9.1,10)内记10分,在区间[9,9.1)内记6分,在区间[8,9)内记5分.现从中随机抽取2项指标考查,记得分总和为ξ,求ξ的分布列与数学期望.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
b
=
n
i=1
(xi-
.
x)
(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
a
=
.
y
-
b
.
x
题型:解答题 难度:0.60 来源:2016•吴忠二模 看答案
6、某公司对新研发的一种产品进行合理定价,且销量与单价具有相关关系,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(单位:元)88.28.48.68.89
销量y(单位:万件)908483807568
(1)现有三条y对x的回归直线方程:
y
=-10x+170; 
y
=-20x+250; 
y
=-15x+210;根据所学的统计学知识,选择一条合理的回归直线,并说明理由.
(2)预计在今后的销售中,销量与单价服从(1)中选出的回归直线方程,且该产品的成本是每件5元,为使公司获得最大利润,该产品的单价应定多少元?(利润=销售收入-成本)
题型:计算题 难度:0.60 来源:2016春•漳平市期中 看答案
7、(2016•岳阳二模)某公司对新研发的一种产品进行试销,得到如表数据及散点图:
利润x(元/kg)102030405060
年销量y(kg)115064342426216586
Z=2ln(y)14.112.912.111.110.28.9
其中z=2ln(y),
.
x
=35,  
.
y
=455,   
.
z
=11.55
i=6
i=1
(xi-
.
x
)2=1750
i=6
i=1
(xi-
.
x
)•(yi-
.
y
)=-34580
i=6
i=1
(xi-
.
x
)•(zi-
.
z
)=-175.5
i=6
i=1
(yi-
.
y
)
2
=776840
i=6
i=1
(yi-
.
y
)•(zi-
.
z
)=3465.2

(Ⅰ)根据散点图判断,y与x、z与x哪一对具有较强线性相关性?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字)
(Ⅲ)利润为多少元/kg时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…(xn,yn),其回归直线
.
y
=
a
+
b
.
x
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
b
=
i=n
i=1
(xi-
.
x
)•(yi-
.
y
)
i=n
i=1
(xi-
.
x
)
2
=
i=n
i=1
xiyi-n•
.
x
.
•y
i=n
i=1
xi2-n•
.
x
2
a
=
.
y
-
b
.
x

题型:解答题 难度:0.60 来源:2016•岳阳二模 看答案
8、随着杜会的发展,大多数家庭的经济状况不断提高,可是膏少年的身体键康指标却每况愈下,该观象备受杜会人士的关注,某一网站线上调查结果显示,青少年身体健康不达标的主要原因有以下三项:“饮食不规律造成营养不均衡”,“学业任务繁重”,“缺乏锻炼”,据统计,60名学生参加调查的情况如下表所示:
 参加调查的项数 0 1 2 3
 所占比例 
1
6
 P 
1
3
1
3
(1)现从这60名学生中按照参加调查的项数分层抽取6名学生进行了解情况,医疗部分决定在这已抽取的6名学生中随机抽取2名进行体检,记这2名学生中参加调查的项数为3的学生人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(2)医疗部分对部分学生一周内进行体育锻炼的时间x(单位:小时)和身体健康指标y进行了一定的统计分析,得到如下数据
 一周内进行体育锻炼的时间 4 6 8 10
 身体健康指标 3 5 68
由表中数据,求得线性回归方程为y=0.8x+a,若某学生一周内进行体育锻炼的时间x=12,求该学生的身体健康指标值.
题型:解答题 难度:0.80 来源: 看答案
9、为了有效降低工业废气对大气的污染,某厂通过节能降耗技术改造来降低单位产量的能耗,通过统计得到了节能降耗技术改造后生产某产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组数据如表:
x2345
y1.5233.5
根据如表提供的数据,求出y关于x的回归线方程为
y
=
b
x+
a
,其中
b
=0.7,则产量为8吨时相应的生产能耗(吨标准煤)为(  )
A、5.65
B、6.45
C、4.35
D、5.05
题型:选择题 难度:0.60 来源: 看答案
10、某位同学为了研究气温对饮料销售的影响,经过对某小卖部的统计,得到一个卖出的某种饮料杯数与当天气温的对比表.他分别记录了3月21日至3月25日的白天平均气温x(℃)与该小卖部的这种饮料销量y(杯),得到如下数据
日    期3月21日3月22日3月23日3月24日3月25日
平均气温x(°C)810141112
销量y(杯)2125352628
(1)若先从这五组数据中任取2组,求取出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;
(2)请根据所给五组数据,求出y关于x的线性回归方程
y
=
b
x+
a

(3)根据(2)中所得的线性回归方程,若天气预报3月26日的白天平均气温7(℃),请预测小卖部的这种饮料的销量.(参考公式:
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
a
=
.
y
-
b
.
x
题型:解答题 难度:0.60 来源: 看答案