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异面直线及其所成的角知识点讲解:

异面直线及其所成的角

1.异面直线定义:两直线不同在任何一个平面内,没有公共点

2.异面直线及其所成的角:

(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线{a}'∥a,{b}'∥b,把{a}'{a}'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。

(2)范围:\left( 0,\frac{2}{\pi } \right]

3.异面直线所成角的求法:

(1)利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。

(2)证明作出的角即为所求角;

(3)利用三角形来求角。
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异面直线及其所成的角练习题:

1、(2016•虹口区二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AB=AD=AP=2,BC=1.求:
(1)异面直线PC与AD所成角的大小;
(2)四棱锥P-ABCD的体积与侧面积.
题型:综合题 难度:0.60 来源:2016•虹口区二模 看答案
2、(2016•南充三模)空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M,N分别是BC与AD的中点,设AM和CN所成角为α,则cosα的值为(  )
A、
2
3

B、
1
3

C、
3
4

D、
1
4
题型:选择题 难度:0.60 来源:2016•南充三模 看答案
3、(2016春•衡水校级期中)如图,四棱锥P-ABCD中,∠BAD=∠ABC=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形,则异面直线CD与PB所成角的大小为    
题型:填空题 难度:0.60 来源:2016春•衡水校级期中 看答案
4、(2016春•荆州校级期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,CC1的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为(  )
A、-
5
6
18

B、-
5
5

C、
6
5

D、
2
5
5
题型:选择题 难度:0.60 来源:2016春•荆州校级期中 看答案
5、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,E为AD的中点,M是棱PC的中点,PA=PD=2,BC=
1
2
AD=1
CD=
3

(1)求证:PE⊥平面ABCD;
(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值;
(3)求直线BM与CD所成角的余弦值.
题型:证明题 难度:0.60 来源:2016•河东区一模 看答案
6、(2016•杭州一模)如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BCD=90°,且BC=
3
CD=3
,将△ABC沿BC的边翻折,设点A在平面BCD上的射影为点M,若点M在△BCD内部(含边界),则点M的轨迹的最大长度等于    ;在翻折过程中,当点M位于线段BD上时,直线AB和CD所成的角的余弦值等于    
题型:填空题 难度:0.60 来源:2016•杭州一模 看答案
7、在正四面体ABCD中,E是BC边的中点,则AE与BD所成角的余弦值为    
题型:计算题 难度:0.60 来源:2015秋•北京校级期中 看答案
8、如图,已知m,n是异面直线,点A,B∈m,且AB=6,点C,D∈n,且CD=4,若M,N分别是AC,BD的中点,MN=2
2
,则m与n所成角的余弦值是    
题型:计算题 难度:0.60 来源: 看答案
9、三棱锥S-ABC的棱长都相等,E,F是棱SC上的点,若SE=
1
3
SC,SF=
2
3
SC,则AE与BF所成角的余弦值为    
题型:计算题 难度:0.60 来源: 看答案
10、如图,设正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是AD和CC1的中点.
(1)求证:A1E⊥BF;
(2)求异面直线A1E与CD1所成角的余弦值.
题型:证明题 难度:0.60 来源: 看答案